Corso di Logica ed Automi

Come funziona la logica

 

Con questa lezione incominciamo ad introdurre la logica delle proposizioni.
Innanzi tutto definiamo cosa intendiamo per proposizioni avvalendoci di un piccolo esempio. Quando esco di casa io prendo l'ombrello solo se ho un ombrello e solo se piove. Ora chiamiamo la frase "ho un ombrello" con la lettera A, chiamiamo con la lettera B la frase "piove" e con la lettera C la frase "prendo l'ombrello". In questo caso A, B e C sono tutte e tre delle proposizioni.
A questo punto C è vero, cioè io prendo l'ombrello, solo se ho un ombrello, cioè A è vero, e solo se piove, cioè B è vero. In tutti gli altri casi cioè quando A è falso oppure B è falso, oppure A e B sono entrambi falsi C sarà sempre falso.

Vi ricordo che C è vero significa che io prendo effettivamente l'ombrello, mentre C è falso significa che io non prendo l'ombrello.
In termini logici questa frase si scrive nella seguente maniera:  (A&B)=>C. In verità questa formula dice qualcosa in più di quella che abbiamo detto finora. Cioè anche la proposizione C può essere vera o falsa, in quanto nessuno mi obbliga a prendere l'ombrello se esco di casa e piove. Come scopriremo in seguito però se esco di casa, piove e ho un ombrello ed uscissi senza di questo la proposizione risulterebbe falsa in quanto, non vedo per quale motivo, dovrei bagnarmi se avessi un ombrello.
La logica delle proposizioni quindi è la connessione di certe variabili o frasi secondo precisi criteri che adesso analizziamo.

Il termine compreso tra A e B, il ‘&’, è la prima congiunzione logica che incontriamo e si pronuncia ‘e’ o all'inglese ‘and’. Funziona nella seguente maniera: necessita di due proposizioni una prima ed una dopo il connettore e la loro congiunzione è vera solo se entrambe le due proposizioni sono vere. Per esprimere meglio questo concetto si utilizza la  "tavola delle verità ". In pratica si associa ad ogni proposizione il valore vero o falso e successivamente si valuta  il risultato della loro congiunzione. Questo risulterà molto più chiaro una volta che guarderete la tabella sottostante:

A

B

(A & B)

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

Nella prima riga si mettono i nomi delle proposizioni, in questo caso A e B, e la formula da valutare, in questo caso    (A & B). Successivamente sotto i nomi delle proposizioni si scrivono tutte le possibili combinazioni di vero e falso che si possono ottenere.
Vi ricordo che con due proposizioni si ottengono quattro combinazioni di vero e falso, con tre proposizioni si ottengono otto combinazioni di vero e falso, con 4 se ne ottengono 16, e così via. Avrete notato che per ottenere il numero di combinazioni possibili si deve elevare 2 al numero di proposizioni che si hanno (es. con tre proposizioni il numero di combinazioni è: 2^3=8).

Torniamo ora alla nostra tavola delle verità: dopo che si sono scritte tutte le possibili combinazioni di vero e falso si deve valutare la loro congiunzione. Vi ricordo che la congiunzione ‘&’ da un risultato vero solo se le due proposizioni sono entrambe vere altrimenti il risultato sarà sempre falso. Questo è facile da notare nella tavola delle verità che abbiamo appena realizzato.
A questo punto ritorniamo alla formula che avevamo scritto all'inizio della lezione: (A & B)=>C. Il significato di ‘&’ è oramai noto, ma non vi ho ancora spiegato il significato di ‘=>’. Questo è un altro connettore che si utilizza nelle formule logiche ed è il connettore dell'implicazione e si legge A implica B o anche A allora B. La tavola delle verità di questo connettivo è la seguente:

A

B

(A => B)

V

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

V

Come si può facilmente notare la formula è sempre vera tranne nel caso in cui da una premessa vera, in questo caso A è vero, si giunge ad una conclusione falsa, in questo caso B è falsa.
Ora che conosciamo il funzionamento dei due connettori che abbiamo imparato valutiamo la verità della formula che avevamo scritto all'inizio della lezione utilizzando una tavola delle verità un po' più complessa:

A

B

C

(A&B)

(A&B)=>C

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

Come potete notare dopo che si sono assegnati tutte le possibili combinazioni di vero e falso si passa a valutare la formula con un piccolo accorgimento: prima si va a valutare il risultato della sottoformula che sta a sinistra, cioè A&B, successivamente si va a lottare la congiunzione tra la sottoformula appena analizzata e la proposizione successiva, in questo caso C.
Nella prossima lezione studieremo ulteriori collettivi e formule logiche un po' più complicate.
Vi avevo promesso nella lezione precedente di spiegarvi cos’era un palindromo, leggete questa frase ed osservatela attentamente: "AI LATI D’ITALIA" non vi suggerisce niente?

 

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